矩阵的逆(什么是逆矩阵)

• 1、矩阵的逆，什么是逆矩阵？
• 2、矩阵的逆是什么？
• 3、矩阵a的逆怎么算？
• 4、为什么矩阵乘积的逆等于逆的乘积？
• 5、矩阵逆序数怎么求？

1、矩阵的逆，什么是逆矩阵？

逆矩阵

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

基本信息

中文名

逆矩阵

别名

非奇异矩阵满秩矩阵

外文名

inverse matrix

定义

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得

并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作A。

定理

验证两个矩阵互为逆矩阵

按照矩阵的乘法满足：

故A，B互为逆矩阵。

逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。

证明：

若B,C都是A的逆矩阵，则有

所以，即A的逆矩阵是唯一的。

判定简单的矩阵不可逆

如

假设有

是A的逆矩阵，则有

比较其右下方一项：。

若矩阵A可逆，则

若A可逆，即有，使得，故

计算

若，则矩阵A可逆，且

其中，A为矩阵A的伴随矩阵。

性质

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作。

4、可逆矩阵A的转置矩阵A也可逆，并且(转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即，则，则。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有

2、假设B和C均是A的逆矩阵，，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A的逆矩阵可写作（A）和A，因此相等。

AB=AC

4、矩阵A可逆，有。由可逆矩阵的定义可知，A可逆，其逆矩阵为（A）。而（A）也是A的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此。

5、1）在两端同时左乘A（BA=O同理可证），得，故）由（同理可证），，等式两边同左乘A，因A可逆。得，即。

可逆的等价条件

1、齐次方程方程组仅有零解。

2、A行等价与单位矩阵I

3、A可写成若干个初等矩阵之积。

4、是（当时，A称为奇异矩阵），利用这个方法，来判定一个矩阵是否可逆更加方便。

证明

必要性：当矩阵A可逆，则有。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，

由行列式的性质：

则，（若等于0则上式等于0）

充分性：有伴随矩阵的定理，有

（其中是的伴随矩阵。）

当，等式同除以，变成

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

求法

求逆矩阵的初等变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

2、矩阵的逆是什么？

1.

矩阵的逆 定义: 设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I。 则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。 可逆条件: A是可逆矩阵的充分必要条件是,即可逆矩阵。

2.

矩阵的伪逆和左右逆 伪逆矩阵: 伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv。

3、矩阵a的逆怎么算？

a的逆矩阵公式：A^-1=(A*)/|A|。设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

4、为什么矩阵乘积的逆等于逆的乘积？

矩阵乘积的逆是不等于逆的乘积的。例如假设矩阵A和B都可逆，那么(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)。

5、矩阵逆序数怎么求？

1

首先明确排列的概念：1到n 共n个数按照一定的顺序排成一列。n个数一共有n的阶乘个不同排列。

例如123共六种不同排列。

2

然后在一个排列中，如果靠前的数大于靠后的数，那就构成了一个逆序。

例如231这个排列中（2,1）（3,1）都为逆序。

3

而一个排列的逆序数，就是这个排列逆序的总数。

我们以53124这个排列为例。

4

从左向右，从右向左计算均可。

我们先看5，因为5是最大的数所以直接记录4个逆序。

再看3找到了（3,1）,(3,2)2个逆序。

5

1是最小的不必再看。

最后看到2，也容易得出不存在逆序。所以总逆序数为6